Règle de trois, échelle et pourcentages : la billetterie du parc

Règle de trois, échelle et pourcentages : la billetterie du parc

Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand l'une est multipliée par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même coefficient de proportionnalité.

Coefficient : 5 000. Vérification : 15 000 ÷ 3 = 5 000, 35 000 ÷ 7 = 5 000.

Contre-exemple : l'âge d'un enfant et sa taille ne sont pas proportionnels (un enfant de 10 ans ne mesure pas deux fois un enfant de 5 ans). Le prix d'un abonnement annuel avec une part fixe non plus.

La règle de trois

Quand on connaît trois valeurs d'un tableau de proportionnalité, la quatrième se calcule par la règle de trois : on multiplie en croix et on divise.

Si 4 billets de cinéma 5D coûtent 32 000 FC, combien coûtent 9 billets ?

9 × 32 000 ÷ 4 = 72 000 FC.

Méthode du passage à l'unité : un billet coûte 32 000 ÷ 4 = 8 000 FC, donc neuf billets 9 × 8 000 = 72 000 FC.

Vitesse et proportionnalité

À vitesse constante, distance et durée sont proportionnelles. Une nacelle parcourt 126 m en 300 s. En 100 s, elle parcourt 126 × 100 ÷ 300 = 42 m. Le coefficient est la vitesse, 0,42 m/s.

L'échelle

Sur un plan, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. L'échelle est le coefficient : échelle 1/500 signifie 1 cm sur le plan pour 500 cm (5 m) en réalité.

• Plan → réel : multiplier par 500.
• Réel → plan : diviser par 500.

Le bassin des jeux d'eau mesure 15 m de long : sur le plan au 1/500, il fait 1 500 ÷ 500 = 3 cm. Un chemin de 9 cm sur ce plan mesure 9 × 500 = 4 500 cm = 45 m.

Les pourcentages

Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité écrit sur 100. Prendre 15 % d'un nombre, c'est le multiplier par 15/100 = 0,15.

• Remise « étudiants » de 15 % sur un ticket de 5 000 FC : 5 000 × 0,15 = 750 FC de remise, prix 4 250 FC. Autre méthode : multiplier par (1 − 0,15) = 0,85 → 5 000 × 0,85 = 4 250 FC.
• Hausse de 8 % : multiplier par 1,08. Un ticket de 5 000 FC passe à 5 400 FC.
• Calculer un pourcentage : 273 visiteurs sur 420 sont des élèves, soit 273 ÷ 420 = 0,65 = 65 %.

Attention : une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au prix de départ : 5 000 × 1,2 × 0,8 = 4 800 FC.

Les fractions et les parts

Une classe de 45 élèves visite le parc ; les 2/5 choisissent le cinéma 5D, les 1/3 la Grande Roue, le reste les jeux d'eau. Cinéma : 45 × 2/5 = 18. Grande Roue : 45 × 1/3 = 15. Jeux d'eau : 45 − 18 − 15 = 12, soit 12/45 = 4/15 de la classe.

À retenir

• Proportionnalité : même coefficient partout ; règle de trois par produit en croix.
• Échelle 1/n : plan × n = réel ; réel ÷ n = plan.
• x % = multiplier par x/100 ; hausse de x % : × (1 + x/100) ; remise : × (1 − x/100).
• Un pourcentage se calcule par partie ÷ total × 100.