Fonctions linéaires et affines : le graphique de la nacelle

Fonctions linéaires et affines : le graphique de la nacelle

Une fonction, une machine à calculer

Une fonction associe à chaque nombre x un unique nombre y, noté f(x). On la donne par une formule, un tableau ou un graphique. Sur le graphique, x se lit sur l'axe horizontal (abscisses), y sur l'axe vertical (ordonnées).

La fonction linéaire : y = ax

Quand y est proportionnel à x, la fonction est linéaire : f(x) = ax. Le nombre a est le coefficient directeur (ou pente). Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine (0 ; 0).

Distance parcourue par une nacelle en fonction du temps : elle avance à 0,42 m/s, donc d(t) = 0,42 t. Après 100 s, 42 m ; après 300 s, 126 m. Le graphique est une droite par l'origine, de pente 0,42 : chaque seconde de plus, 0,42 m de plus.

Prix des tickets : p(n) = 5 000 n. Trois tickets, 15 000 FC. Droite par l'origine, pente 5 000.

Pour trouver a à partir de deux points : a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Si la droite passe par (2 ; 10 000) et (5 ; 25 000), a = 15 000 ÷ 3 = 5 000.

La fonction affine : y = ax + b

Si l'on ajoute une partie fixe b, la fonction devient affine : f(x) = ax + b. La droite ne passe plus par l'origine : elle coupe l'axe des ordonnées en b, l'ordonnée à l'origine.

Le pass famille du parc coûte 10 000 FC d'entrée plus 3 000 FC par manège : c(n) = 3 000 n + 10 000. Zéro manège : 10 000 FC ; cinq manèges : 25 000 FC. Sur le graphique, la droite part de 10 000 (b) et monte de 3 000 par manège (a).

Comparaison : le ticket simple à 5 000 FC par manège, c'(n) = 5 000 n. Les deux droites se croisent quand 5 000 n = 3 000 n + 10 000, soit 2 000 n = 10 000, n = 5. À moins de 5 manèges, le ticket simple est moins cher ; à partir de 5, le pass gagne. Résoudre une équation, c'est trouver l'abscisse du point d'intersection.

Le signe de a

• a > 0 : la droite monte (fonction croissante) — le prix augmente avec le nombre de manèges.
• a < 0 : la droite descend (décroissante) — la hauteur d'un seau qui se vide : h(t) = 40 − 2t (40 cm au départ, moins 2 cm par minute), vide à t = 20 min.
• a = 0 : droite horizontale (constante) — la vitesse de la nacelle, toujours 0,42 m/s.

La hauteur de la nacelle : pas une droite

Tout n'est pas linéaire. La hauteur de la nacelle au cours d'un tour monte, atteint 42 m, puis redescend : la courbe est une vague (une sinusoïde), pas une droite. Entre 0 et 150 s, elle est croissante ; entre 150 et 300 s, décroissante. Lire un graphique, c'est dire sur quels intervalles la fonction monte ou descend, et où elle atteint son maximum.

Tracer une droite

Il suffit de deux points. Pour y = 3 000 x + 10 000 : x = 0 donne y = 10 000 ; x = 4 donne y = 22 000. On place les deux points, on trace la droite, on vérifie avec un troisième point (x = 2, y = 16 000).

À retenir

• Linéaire : y = ax, droite par l'origine, proportionnalité ; a = Δy ÷ Δx.
• Affine : y = ax + b, ordonnée à l'origine b, pente a.
• a > 0 croissante, a < 0 décroissante, a = 0 constante.
• L'intersection de deux droites se trouve en résolvant ax + b = a'x + b'.