Pythagore et Thalès : la hauteur de la Grande Roue sans y monter

Pythagore et Thalès : la hauteur de la Grande Roue sans y monter

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse, le plus long. Le théorème de Pythagore dit :

hypoténuse² = côté₁² + côté₂²

Le câble d'un pied de la Grande Roue est fixé au sol à 15 m du pied et monte jusqu'à un point situé à 20 m de hauteur. Sa longueur ? c² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625, donc c = √625 = 25 m. Le triangle 3-4-5 (ici 15-20-25) est le triangle rectangle préféré des maçons : ils l'utilisent avec une corde à 12 nœuds pour tracer un angle droit parfait.

Réciproque : si a² + b² = c², le triangle est rectangle. Un triangle de côtés 5, 12 et 13 : 25 + 144 = 169 = 13², il est rectangle. Un triangle 6, 7, 9 : 36 + 49 = 85 ≠ 81, il ne l'est pas.

Racines carrées utiles : √2 ≈ 1,414 ; √3 ≈ 1,732 ; √100 = 10 ; √625 = 25. La diagonale d'un carré de côté a vaut a√2 : un terrain carré de 30 m a une diagonale de 42,4 m.

Le théorème de Thalès

Quand deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, les longueurs sont proportionnelles. C'est l'idée qui permet de mesurer une hauteur sans y grimper, avec l'ombre ou avec un bâton.

Méthode de l'ombre. Le même soleil éclaire la Grande Roue et un bâton vertical de 1 m. Les rayons sont parallèles ; les deux triangles (objet, ombre) sont donc semblables :

hauteur de la roue ÷ ombre de la roue = hauteur du bâton ÷ ombre du bâton.

Un après-midi, le bâton de 1 m fait une ombre de 0,80 m, et l'ombre de la roue, mesurée au pas depuis le pied jusqu'au bout de l'ombre du sommet, fait 33,6 m. Hauteur = 33,6 × 1 ÷ 0,80 = 42 m. C'est bien la hauteur réelle.

Méthode du bâton et de l'œil. On s'allonge, on place un bâton vertical à 2 m de son œil de façon que son sommet cache le sommet de la roue, et on mesure la distance de l'œil au pied de la roue, 84 m. Si le bâton dépasse l'œil de 1 m : hauteur = 84 × 1 ÷ 2 = 42 m.

Aires et volumes des solides

• Cylindre (la citerne du parc, rayon 1,5 m, hauteur 2 m) : V = π r² h = 3,14 × 2,25 × 2 ≈ 14,1 m³, soit 14 100 litres. Aire latérale = 2 π r h ≈ 18,8 m² de tôle.
• Cône (le chapeau du carrousel, rayon 3 m, hauteur 2 m) : V = π r² h ÷ 3 ≈ 18,8 m³.
• Sphère (le ballon de la décoration, rayon 0,5 m) : V = 4/3 π r³ ≈ 0,52 m³ ; aire = 4 π r² ≈ 3,14 m².
• Pyramide à base carrée (le kiosque, base 4 m, hauteur 3 m) : V = base × h ÷ 3 = 16 × 3 ÷ 3 = 16 m³.
• Pavé droit (un container 6 × 2,4 × 2,4 m) : V = 34,6 m³.

Une nacelle de la Grande Roue est à peu près un cylindre de 1 m de rayon et 2 m de haut : 6,3 m³ d'air pour quatre passagers.

À retenir

• Pythagore : hypoténuse² = a² + b² ; réciproque pour tester un angle droit ; triangle 3-4-5.
• Thalès : longueurs proportionnelles entre parallèles ; hauteur = ombre × (hauteur du bâton ÷ ombre du bâton).
• Cylindre π r² h ; cône π r² h ÷ 3 ; sphère 4/3 π r³ ; pyramide base × h ÷ 3.