Mouvement circulaire et énergie : la Grande Roue comme sujet d'Exétat

Les données du problème

Prenons les valeurs d'exercice de la fiche « Physique du Parc N4 » : la Grande Roue a un rayon R = 20,0 m, son axe est à H_axe = 22,0 m du sol et elle fait un tour en T = 300 s. Le sommet est donc à 42 m et le point bas à 2 m. Les vraies valeurs du jour se lisent sur la fiche du parc, mais la méthode est la même.

Mouvement circulaire uniforme

Une nacelle décrit un cercle à vitesse constante : c'est un mouvement circulaire uniforme. Trois grandeurs le résument.

• Vitesse angulaire : ω = 2π ÷ T = 6,28 ÷ 300 = 0,0209 rad/s.
• Vitesse linéaire : v = R·ω = 20,0 × 0,0209 = 0,419 m/s, soit 1,5 km/h, une marche très lente.
• Accélération centripète : a_c = v² ÷ R = R·ω² = 8,8 × 10⁻³ m/s², dirigée vers le centre. C'est 0,09 % de g : la nacelle « tourne » sans que personne ne le sente.

La vitesse est constante en valeur mais change de direction à chaque instant ; c'est cette rotation du vecteur vitesse qui exige une accélération, et donc une force (la tension des bras de la roue), même si le module de v ne change pas.

Équations horaires

Plaçons l'origine au centre de la roue, la nacelle partant du point bas à t = 0. Alors :

x(t) = R·sin(ωt) ; y(t) = −R·cos(ωt) ; hauteur au-dessus du sol h(t) = H_axe − R·cos(ωt).

La nacelle atteint la hauteur de l'axe quand cos(ωt) = 0, soit ωt = π/2, c'est-à-dire t = T/4 = 75 s. Elle est au sommet à t = T/2 = 150 s. À t = T/3 = 100 s, ωt = 120°, cos = −0,5 et h = 22 + 10 = 32 m.

Question classique : quelle période faudrait-il pour que a_c atteigne 0,1 g ? De a_c = R·(2π/T)², on tire T = 2π·√(R ÷ a_c) = 2π·√(20 ÷ 0,98) ≈ 28 s. Une roue dix fois plus rapide, ce que la sécurité interdit.

Énergie : le profil « Canyon Coaster »

L'énergie mécanique E_m = E_p + E_c, avec E_p = m·g·h et E_c = ½·m·v². Sans frottement, elle se conserve. Le titre 5D « Canyon Coaster » fournit un profil hauteur-vitesse. Prenons un wagon fictif de m = 500 kg :

• Sommet du lift (A) : h = 32 m, v = 2,0 m/s → E_p = 156,8 kJ, E_c = 1,0 kJ, E_m = 157,8 kJ.
• Premier creux (B) : h = 4,0 m. Sans frottement, v_B = √(v_A² + 2g(h_A − h_B)) = √(4 + 2 × 9,8 × 28) = 23,5 m/s. Le profil indique 22,5 m/s, donc E_m = 19,6 + 126,6 = 146,2 kJ : environ 7 % ont été perdus en frottements et en bruit.

Le théorème de l'énergie cinétique dit que la variation de E_c égale le travail des forces : W_frottements = 146,2 − 157,8 = −11,6 kJ.

Freinage et quantité de mouvement

En fin de parcours, à v_D = 22,0 m/s, les freins imposent une décélération a = 4,0 m/s². Distance d'arrêt d = v² ÷ (2a) = 484 ÷ 8 = 60,5 m ; force F = m·a = 2 000 N ; durée t = v ÷ a = 5,5 s.

La quantité de mouvement p = m·v se conserve dans un choc. Aux autos-tamponneuses, une voiture de 200 kg à 3 m/s percute une voiture immobile de 200 kg et les deux restent accrochées : 200 × 3 = 400 × v', d'où v' = 1,5 m/s. L'énergie cinétique, elle, est passée de 900 J à 450 J : la moitié s'est transformée en chaleur et en déformation. C'est un choc inélastique.