Oscillations, ondes et son : du pendule aux décibels du plateau

Le pendule simple

Une masse au bout d'un fil de longueur L, écartée un peu de la verticale, oscille avec une période T (durée d'un aller-retour) donnée par :

T = 2π·√(L ÷ g)

Deux faits surprennent toujours. La période ne dépend pas de la masse : une pierre et une bille au bout du même fil oscillent au même rythme. Et elle ne dépend pas de l'amplitude tant que l'angle reste petit : c'est l'isochronisme découvert par Galilée. Avec L = 1,00 m et g = 9,8 m/s², T = 2π × 0,319 = 2,0 s. Un pendule quatre fois plus court (0,25 m) oscille deux fois plus vite (1,0 s), car T est proportionnel à √L.

Cette formule permet de mesurer g : on trace T² en fonction de L, on obtient une droite de pente 4π² ÷ g ≈ 4,03 s²/m, et g = 4π² ÷ pente. Sur la Lune, g est six fois plus petit, la période est √6 ≈ 2,45 fois plus longue. Pour un ressort de raideur k portant une masse m, la fréquence propre est f₀ = (1 ÷ 2π)·√(k ÷ m).

Amortissement et résonance

Un pendule réel ralentit et s'arrête : les frottements dissipent son énergie, c'est l'amortissement. Si au contraire on le pousse à chaque passage, exactement à sa fréquence propre, l'amplitude grandit : c'est la résonance. Une nacelle suspendue de la Grande Roue est un pendule ; des rafales de vent régulières à sa fréquence propre feraient croître son balancement. C'est l'une des raisons pour lesquelles la roue s'arrête au-delà de 15 m/s de vent. Ponts, immeubles et haut-parleurs sont tous conçus en tenant compte de leur fréquence de résonance.

Ondes : période, fréquence, longueur d'onde

Une onde transporte de l'énergie sans transporter de matière. Sa fréquence f (en hertz) est le nombre d'oscillations par seconde, l'inverse de la période : f = 1 ÷ T. Sa longueur d'onde λ est la distance parcourue pendant une période : λ = v ÷ f. Le son se propage dans l'air à v = 343 m/s. Un la de 440 Hz a une longueur d'onde de 0,78 m ; un son de 1 000 Hz, 34 cm ; un grave de 50 Hz, presque 7 m. L'oreille humaine entend de 20 Hz à 20 000 Hz, et cette limite haute baisse avec l'âge.

Le son est une onde longitudinale (l'air vibre dans la direction de propagation) ; la lumière est une onde transversale, et c'est pour cela qu'on peut la polariser, comme le font les lunettes du cinéma 5D. On ne peut pas polariser un son.

Décibels sur le plateau du Grand Quiz

L'intensité sonore I (en W/m²) varie sur une échelle immense : on utilise le niveau sonore L = 10·log(I ÷ I₀), en décibels, avec I₀ = 10⁻¹² W/m². Trois repères à retenir : +10 dB = intensité multipliée par 10 ; +3 dB = intensité doublée ; quand on double la distance à une source ponctuelle, le niveau baisse d'environ 6 dB. Une sono à 90 dB à 1 m donne 84 dB à 2 m et 78 dB à 4 m. Au-delà de 85 dB pendant huit heures, l'oreille se fatigue durablement : c'est pourquoi la régie du plateau surveille le sonomètre.

L'effet Doppler

Quand une source sonore s'approche, les fronts d'onde se resserrent et le son perçu est plus aigu ; quand elle s'éloigne, il est plus grave. Pour un observateur fixe et une source de vitesse v_s :

f' = f × v ÷ (v − v_s) à l'approche ; f' = f × v ÷ (v + v_s) à l'éloignement.

Une pirogue à moteur passe à 8 m/s en klaxonnant à 500 Hz : on entend 500 × 343 ÷ 335 ≈ 512 Hz à l'approche et 500 × 343 ÷ 351 ≈ 489 Hz à l'éloignement, un saut de 23 Hz. Sur un manège qui tourne avec une sirène embarquée, l'oreille suit ce va-et-vient à chaque tour. Les radars routiers et l'échographie Doppler des hôpitaux utilisent le même principe.